一个数如果恰好等于它的因子之和，这个数就称为"完美数"或"完数"。例如6=1+2+3(6的因子是1,2,3)。完美数具有如下性质：

1. 欧几里德证明：一个偶数是完数，当且仅当它满足 2^(p-1)×(2^p-1) 其中p和(2^p-1)是素数。尽管没有发现奇完数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔（Oystein Ore）证明，若有奇完全数，则其形状必然是12p+1或36p+9的形式，其中p是素数。在10¹⁸以下的自然数中没有发现奇完数。
2. 除6以外的偶完数，把它的各个数字相加，直到变成一位数，那么这个一位数一定是1（亦即：除6以外的完数，被9除都余1） 28：2+8=10，1+0=1 496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1

3. 因为 2^p是 2的幂，用C语言也就是1 << p，那么 2^p-1 的二进制也就是p个1组成了，而 2^(p-1)是 2的幂，这两个数相乘，也就相当于把 2^p-1 向左移 p-1 位，即 (2^p-1) << (p-1)，那所有完美数的二进制就是前面p个1，后面跟着p-1个0。 所以偶完数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，如：6=2^1+2^2；28=2^2+2^3+2^4；8128=2^6+2^7 + ... + 2^12；33550336=2^12+2^13 + ... + 2^24

   j = ((1 + (i ^ (i-1) )) >> 1) + i - 1;
   (j & (j + 1)) || (i & 1)
   

   上面的代码可以判断整数i是否是前面1后面0的形式。

4. 每一个偶完数都可以写成连续自然数之和：6=1+2+3；28=1+2+3+4+5+6+7；496=1+2+3+…+30+31

5. 除6以外的偶完数，还可以表示成连续奇数的立方和（被加的项共有)：28 = 1^3+3^3；496 = 1^3+3^3+5^3+7^3；8128 = 1^3+3^3+5^3 + ... + 15^3；33550336 = 1^3+3^3+5^3 + ... + 125^3+127^3

6. 每一个完数的所有约数(包括本身)的倒数之和，都等于2： 1/1+1/2+1/3+1/6 = 2；1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28 = 2。

了解了上面一些性质后，就可以简单的来写一个求完美数的程序了。

#include <stdio.h>

#ifndef WIN32
typedef long long ll;
#else
typedef __int64 ll;
#endif

int main(void) {
    ll i, j, n, x;

    for (n = 2; n <= 31; n++) {
        x = (1 << n) - 1;
        for(i = 3; i*i <= x; i += 2)
            if(x % i == 0)
                break;
        if(i*i <= x) continue;
        printf("%lld/n", (1 << (n - 1)) * x);
    }

    return 0;
}

运行结果：

6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128

到目前为止，已经求出的2^p-1是素数的有25个：2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701。 据说最后一个即2²¹⁷⁰¹－1是1978年两名美国大学生新发现的截止目前为止最大的一个素数 所有我们可以利用这个结果来求已知的完美数：

import java.math.BigInteger;

public class Main {
  public static void main(String[] argv) {
    int [] prime = {
      2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,
      521,607,1279,2203,2281,3217,4253,
      4423,9689,9941,11213,19937,21701
    };
    BigInteger x = BigInteger.ONE;
    for (int i = 0; i < prime.length; i++)
      System.out.println(
        x.shiftLeft(prime[i]-1)
         .multiply(x.shiftLeft(prime[i])
         .subtract(x)));
  }
}