问题描述
Problem Description
“ 改革春风吹满地,
不会AC没关系;
实在不行回老家，
还有一亩三分地。
谢谢!（乐队奏乐）”
话说部分学生心态极好，每天就知道游戏，这次考试如此简单的题目，也是云里雾里，而且，还竟然来这么几句打油诗。
好呀，老师的责任就是帮你解决问题，既然想种田，那就分你一块。
这块田位于浙江省温州市苍南县灵溪镇林家铺子村，多边形形状的一块地，原本是linle 的，现在就准备送给你了。不过，任何事情都没有那么简单，你必须首先告诉我这块地到底有多少面积，如果回答正确才能真正得到这块地。
发愁了吧？就是要让你知道，种地也是需要AC知识的！以后还是好好练吧...
Input
输入数据包含多个测试实例，每个测试实例占一行，每行的开始是一个整数n(3<=n<=100)，它表示多边形的边数（当然也是顶点数），然后是按照逆时针顺序给出的n个顶点的坐标（x1, y1, x2, y2... xn, yn）,为了简化问题，这里的所有坐标都用整数表示。
输入数据中所有的整数都在32位整数范围内，n=0表示数据的结束，不做处理。
Output
对于每个测试实例，请输出对应的多边形面积，结果精确到小数点后一位小数。
每个实例的输出占一行。
Sample Input
3 0 0 1 0 0 1
4 1 0 0 1 -1 0 0 -1
0
Sample Output
0.5
2.0
问题分析
Problem Analyse
求多边形面积
Algorithm Analyse
可以利用多边形求面积公式：
S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
其中点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)为多边形上按逆时针顺序的顶点。
简要证明：
我们先简单地从三个点入手(包括原点)。
面积S△OAB = SABCD - S△OAD - S△OBC
SABCD = (y0 + y1) × (x0 - x1) ÷ 2
S△OAD = x0 × y0 ÷ 2
S△OBC = (-x1) × y1 ÷ 2
S△OAB = (x0 × y0 + x0 × y1 - x1 × y0 - x1 × y1 - x0 × y0 + x1 × y1) ÷ 2
= (x0 × y1 - x1 × y0) ÷ 2
公式成立。同理你可以算出其他情况也能符合这个公式。
假设该公式对于n个顶点的多边形成立。即：
S = 0.5 × ( (x0×y1-x1×y0) + (x1×y2-x2×y1) + ... + (xn×y0-x0×yn) )
再加第n+1点后，面积 S' = S + S△A0AnAn+1
S = 0.5 × ( (x0×y1-x1×y0) + (x1×y2-x2×y1) + ... + (xn×y0-x0×yn) ) S△A0AnAn+1 = 0.5 × ( (X0×Yn-Xn×Y0) + (Xn×Yn+1-Xn+1×Yn) + (Xn+1×Y0-X0×Yn+1) ) ∴ S' = S = 0.5 × ( (X0×Y1-X1×Y0) + (X1×Y2-X2×Y1) + ... + (Xn+1×Y0-X0×Yn+1) )
综上所述，得到公式：
S = 0.5 × ( (x0×y1-x1×y0) + (x1×y2-x2×y1) + ... + (xn×y0-x0×yn) )。
算法实现
算法知道了就很轻松了，编程的时候只要保存第1个点的坐标就可以了。其他的就不浪费空间了。^_^